Vetores
Um vetor é uma lista ordenada de números. A ordem importa: cada posição é uma coordenada com significado próprio.
$$v = [1{,}15,\; 2{,}71,\; 9{,}86] \in \mathbb{R}^3$$Escrevemos vetores como coluna quando o contexto é multiplicação por matriz, e como linha quando é só uma lista de dados. É a mesma coisa a menos de transposição.
O que dá para representar com um vetor
A ideia central da disciplina: objetos muito diferentes viram vetores, e aí todos passam a aceitar as mesmas operações e os mesmos algoritmos.
| Objeto | Como vira vetor | Exemplo |
|---|---|---|
| String binária | N bits → vetor de N zeros e uns | [1,0,1,1,1,0,1,1] |
| Atributos (ML) | cada item da base = coleção de atributos numéricos | idade 30, educação 16, salário 5000 → [30,16,5000] |
| Distribuição de probabilidade | uma componente por evento | dado justo → [1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6] |
| Imagem | concatenar os pixels linha a linha (ou coluna a coluna) | imagem \(4\times4\) → vetor em \(\mathbb{R}^{16}\) |
| Polinômio | vetor dos coeficientes em ordem crescente de grau | \(x^2+2x\) → [0,2,1] |
A matriz de pixels
$$X=\begin{bmatrix}0&0&255&0\\0&255&255&0\\0&0&255&0\\0&0&255&0\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times4}$$vira \(x=[0,0,255,0,\;0,255,255,0,\;0,0,255,0,\;0,0,255,0]\in\mathbb{R}^{16}\), lendo linha 1, linha 2, linha 3, linha 4.
Um polinômio de grau \(k\) é a função
$$p(x)=\sum_{i=0}^{k} a_i x^i = a_0 + a_1x + \dots + a_kx^k$$e é representado por \(a=[a_0,a_1,\dots,a_k]\). Logo \(p(x)=x^2+2x\) → \(a=[0,2,1]\).
Espaço vetorial
Um conjunto não vazio \(V\) de vetores, definido sobre um corpo \(K\) (em geral \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), é um espaço vetorial se:
- contém o vetor nulo \(\mathbf{0}\);
- fechamento na soma: se \(u,v\in V\) então \(u+v\in V\);
- fechamento no produto por escalar: se \(v\in V\) e \(a\in K\) então \(av\in V\).
As seis propriedades que ele também precisa satisfazer
| Propriedade | Enunciado |
|---|---|
| Comutatividade | \(v+w=w+v\) |
| Associatividade | \((v+w)+u=v+(w+u)\) |
| Distributividade | \(a(v+w)=av+aw\) |
| Identidade da adição | \(0+v=v\) |
| Identidade da multiplicação | \(1\cdot v=v\) |
| Compatibilidade multiplicativa | \((ab)v=a(bv)\) |
Vetor neutro \([0,0]\).
\(v=[1,2],\;u=[-3,4] \Rightarrow v+u=[-2,6]\)
\(v=[-1,1],\;a=10 \Rightarrow av=[-10,10]\)
\(\mathbb{R}\) é a reta dos reais, \(\mathbb{R}^2\) o plano, \(\mathbb{R}^3\) o espaço 3D. Em geral \(\mathbb{R}^n\) é o espaço euclidiano de dimensão \(n\).
Com \(p(x)=x^2+2x\) e \(g(x)=x^3\), calcular \(3p(x)+5g(x)\) via vetores de coeficientes:
$$p \to v=[0,2,1,0],\qquad g \to u=[0,0,0,1]$$ $$3v+5u=[0,6,3,0]+[0,0,0,5]=[0,6,3,5] \;\to\; 5x^3+3x^2+6x$$Somar polinômios é somar vetores. É exatamente o mesmo mecanismo.
Combinação linear
Num espaço \(V\) sobre \(K\), um vetor \(w\in V\) pode ser construído pela soma ponderada de escalares \(a_i\in K\) e vetores \(v_i\in V\):
$$w=\sum_{i=1}^{n} a_i v_i = a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n$$Praticamente tudo daqui para frente é uma releitura desta linha: base canônica, transformação linear, multiplicação matriz-vetor e espaço coluna são todos casos de combinação linear.
Base canônica
Em \(\mathbb{R}^n\), o vetor \(e_i\) tem todas as componentes nulas, exceto um 1 na i-ésima posição:
$$e_i=[0,\dots,0,\underset{i}{1},0,\dots,0]$$Qualquer \(v=[v_1,\dots,v_n]\) se escreve como combinação linear das bases:
$$v=\sum_{i=1}^{n} v_i e_i$$Transformação linear
Uma função \(L:V\to V'\) entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer \(v,u\in V\) e escalar \(a\in K\):
- preserva a soma vetorial: \(L[v+u]=L[v]+L[u]\)
- preserva o produto por escalar: \(L[av]=aL[v]\)
Seja \(L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\), \(L(v_x,v_y)=[\,3v_x,\;2v_x+v_y,\;-v_y\,]\).
Produto por escalar:
$$L(cv_x,cv_y)=[3cv_x,\;2cv_x+cv_y,\;-cv_y]=c[3v_x,\;2v_x+v_y,\;-v_y]=cL(v_x,v_y)$$Soma vetorial:
$$L(v_x+u_x,\,v_y+u_y)=[3v_x+3u_x,\;2v_x+2u_x+v_y+u_y,\;-v_y-u_y]$$ $$=[3v_x,2v_x+v_y,-v_y]+[3u_x,2u_x+u_y,-u_y]=L(v)+L(u)$$Transformações como combinações lineares
Como todo \(v\) é combinação linear das bases canônicas, aplicar as duas propriedades de linearidade permite reescrever \(L[v]\) em função apenas de \(L[e_i]\):
Para \(L(v_x,v_y)=[3v_x,\,2v_x+v_y,\,-v_y]\):
$$L(e_1)=L(1,0)=[3,2,0],\qquad L(e_2)=L(0,1)=[0,1,-1]$$ $$L(v_x,v_y)=v_x\begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix}+v_y\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}$$Matrizes
Matriz é uma forma conveniente de armazenar um conjunto de vetores, empilhando-os como colunas:
$$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{m\times n}$$\(m\) linhas, \(n\) colunas. Cada coluna \(A_j\) é um vetor de \(\mathbb{R}^m\).
Multiplicação matriz por vetor \(Ax\)
Existem duas leituras da mesma conta. A segunda é a que a disciplina vai usar o tempo todo.
Leitura 1 — por linhas (produto interno)
Cada componente do resultado é o produto interno de uma linha de \(A\) com \(x\).
Leitura 2 — por colunas (combinação linear)
O resultado é uma combinação linear das colunas de \(A\), com pesos dados pelas componentes de \(x\).
Toda transformação linear é uma matriz
Como \(Ax\) é uma combinação linear das colunas, e \(L[v]\) é uma combinação linear dos \(L[e_i]\), basta colocar cada \(L[e_i]\) como uma coluna.
Dada \(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), a matriz de \(L\) é
$$A=\begin{bmatrix}|&&|\\ L[e_1]&\dots&L[e_n]\\ |&&|\end{bmatrix}, \qquad L[v]=Av$$Com \(L(v_x,v_y)=[3v_x,\,2v_x+v_y,\,-v_y]\), \(L(e_1)=[3,2,0]\) e \(L(e_2)=[0,1,-1]\):
$$L(v_x,v_y)=\begin{bmatrix}3&0\\2&1\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$Espaço gerado (span)
O conjunto de todas as combinações lineares de \(v_1,\dots,v_n\) é o espaço gerado por esses vetores: \(\text{Span}\{v_1,\dots,v_n\}\).
Quantos vetores há no span de \(v=[2,3]\) sobre \(\mathbb{R}\)? Infinitos. O span é
$$\{a[2,3] : a\in\mathbb{R}\}$$ou seja, todos os pontos sobre a reta que passa pela origem e pelo ponto \((2,3)\).
Espaço linha e espaço coluna
Toda matriz \(A\) carrega dois espaços vetoriais:
- Espaço coluna: gerado pelas colunas de \(A\);
- Espaço linha: gerado pelas linhas de \(A\).
Espaço coluna = \(\text{Span}\{[1,10],[2,20],[3,30]\}\). Como \([2,20]\) e \([3,30]\) são múltiplos escalares de \([1,10]\), ele se reduz a \(\text{Span}\{[1,10]\}\).
Espaço linha = \(\text{Span}\{[1,2,3],[10,20,30]\}\). Como \([10,20,30]=10\cdot[1,2,3]\), ele se reduz a \(\text{Span}\{[1,2,3]\}\).
Espaço coluna e \(Ax\)
Fechando o ciclo da aula: o espaço coluna de \(A\) é, por definição, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de \(A\). E \(Ax\) é justamente uma combinação linear específica dessas colunas:
$$\begin{bmatrix}|&&|\\ A_1&\dots&A_n\\ |&&|\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}=x_1A_1+\dots+x_nA_n$$O espaço coluna de \(A\) contém todos os vetores da forma \(Ax\) — e nada além disso. Variar \(x\) por todo \(\mathbb{R}^n\) percorre exatamente o espaço coluna.
$$C(A)=\{Ax : x\in\mathbb{R}^n\}$$Checklist da A1
Se você consegue responder tudo abaixo sem consultar, a aula está fechada.
| Pergunta | Onde está |
|---|---|
| Como representar imagem e polinômio como vetor? | O que cabe num vetor |
| Quais os três requisitos + seis propriedades de espaço vetorial? | Espaço vetorial |
| Provar que uma função dada é (ou não é) transformação linear | Transformação linear |
| Montar a matriz de uma transformação a partir de \(L[e_i]\) | Matriz = transformação |
| Escrever \(Ax\) nas duas leituras (linhas e colunas) | Multiplicação \(Ax\) |
| Reduzir espaço linha e coluna à descrição mínima | Espaço linha e coluna |
| Explicar por que \(Ax\) vive no espaço coluna | Espaço coluna e \(Ax\) |