Retomada: as duas leituras de \(Ax\)
A aula começa recolocando o produto matriz-vetor nas duas formas vistas antes, porque tudo o que vem depois é releitura delas.
Daí sai a definição de espaço coluna: \(C(A)\) é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de \(A\). Ou, dito de outro jeito, o espaço coluna é o conjunto formado por todos os vetores \(Ax\).
Exemplo 1 — quando \(C(A)\) é uma reta
Escrever \(Ax\) como combinação linear, dar a base de \(C(A)\) e caracterizar o espaço geometricamente.
1. Combinação linear das colunas:
$$Ax=x_1\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}3\\3\\3\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}8\\8\\8\end{bmatrix}$$2. Descartar as colunas redundantes: a segunda e a terceira são múltiplos da primeira,
$$\begin{bmatrix}3\\3\\3\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}8\\8\\8\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$$então elas não acrescentam nada ao espaço gerado.
3. Base e geometria:
$$C(A)=\mathrm{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$$\(C(A)\) é a reta que passa pela origem e por \([1,1,1]^T\). As três colunas apontam na mesma direção — só mudam de comprimento.
Exemplo 2 — quando \(C(A)\) é um plano
1. Combinação linear das colunas:
$$Ax=x_1\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}1\\1\\7\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}3\\4\\12\end{bmatrix}$$2. Procurar redundância: a terceira coluna é a soma das duas primeiras,
$$A_1+A_2=\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\\12\end{bmatrix}=A_3$$logo \(A_3\) já está no espaço gerado por \(A_1\) e \(A_2\).
3. Base e geometria:
$$C(A)=\mathrm{Span}\left\{\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\7\end{bmatrix}\right\}$$\(C(A)\) é o plano formado por \(A_1\) e \(A_2\). Repare que \(A_1\) e \(A_2\) não são paralelos — por isso geram um plano, e não uma reta.
Independência linear (L.I.)
Dado um conjunto finito de vetores \(S=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\in V\) sobre o corpo \(K\), dizemos que \(S\) é linearmente independente (L.I.) se a equação
$$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=\mathbf{0}$$possui somente a solução
$$a_1=a_2=\dots=a_n=0$$Onde \(\mathbf{0}\) é o elemento neutro de \(V\) e \(a_i\in K\).
A consequência prática, que é o motivo de a aula definir isso aqui: as colunas linearmente independentes de uma matriz formam a base para o espaço coluna.
As duas primeiras colunas são L.I. entre si; a terceira é combinação delas. A base fica com dois vetores.
Posto (rank) de uma matriz
O posto (ou rank) de uma matriz \(A\) é o número de colunas (ou linhas) linearmente independentes de \(A\).
| Resultado | Enunciado |
|---|---|
| Teorema do posto | o número de colunas L.I. de \(A\) é igual ao número de linhas L.I. de \(A\) |
| Limite superior | se \(A\) tem tamanho \(m\times n\), então \(\mathrm{posto}(A)\le\min(m,n)\) |
| Posto completo | \(\mathrm{posto}(A)=\min(m,n)\) |
| Posto de um produto | \(\mathrm{posto}(AB)\le\min\big(\mathrm{posto}(A),\mathrm{posto}(B)\big)\) |
Nas duas matrizes que a aula usa: a do Exemplo 1 tem uma só coluna L.I., logo \(\mathrm{posto}=1\); a do Exemplo 2 tem duas, logo \(\mathrm{posto}=2\). Ambas são \(3\times3\), então nenhuma tem posto completo (que seria 3).
Multiplicação \(AB\) por produto interno
É a leitura padrão: cada entrada do resultado é o produto interno de uma linha de \(A\) com uma coluna de \(B\).
Para \(A_{m\times n}\) e \(B_{n\times p}\):
$$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&\dots&b_{1p}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&\dots&b_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_1&\mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_2&\dots&\mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_p\\ \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_1&\mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_2&\dots&\mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_p\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_1&\mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_2&\dots&\mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_p\end{bmatrix}$$onde cada entrada é o produto interno entre a linha \(\mathbf{a}_i^T\) de \(A\) e a coluna \(\mathbf{b}_j\) de \(B\):
$$\mathbf{a}_i^T\cdot\mathbf{b}_j=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}$$\(AB\) por concatenação
Se \(Ax\) já é uma operação conhecida, \(AB\) pode ser montada empilhando resultados de \(Ax\) — sem calcular entrada por entrada.
Uma coluna à direita da outra, dos \(p\) vetores \(A\mathbf{b}_j\):
$$AB=\begin{bmatrix}|&|&&|\\ A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&\dots&A\mathbf{b}_p\\ |&|&&|\end{bmatrix}$$Uma linha abaixo da outra, dos \(m\) vetores \(\mathbf{a}_i^TB\):
$$AB=\begin{bmatrix}-&\mathbf{a}_1^TB&-\\ -&\mathbf{a}_2^TB&-\\ &\vdots&\\ -&\mathbf{a}_m^TB&-\end{bmatrix}$$As duas concatenações num \(2\times2\)
Considere \(A_{2\times2}\) e \(B_{2\times2}\). Pela leitura clássica:
$$AB=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k&l\\m&n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ak+bm&al+bn\\ ck+dm&cl+dn\end{bmatrix}$$Concatenação horizontal — cada coluna do resultado é \(A\) vezes a coluna correspondente de \(B\):
$$AB=\begin{bmatrix}A\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}&A\begin{bmatrix}l\\n\end{bmatrix}\end{bmatrix}$$Concatenação vertical — cada linha do resultado é a linha correspondente de \(A\) vezes \(B\):
$$AB=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}B\\[4pt] \begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}B\end{bmatrix}$$As três expressões dão a mesma matriz; muda só a ordem em que as contas são feitas.
Produto externo \(u\otimes v\)
O produto externo entre dois vetores \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) é uma matriz:
$$\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}=\mathbf{u}\mathbf{v}^T=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\ \vdots\\u_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1&v_2&\dots&v_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1v_1&u_1v_2&\dots&u_1v_n\\ u_2v_1&u_2v_2&\dots&u_2v_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_mv_1&u_mv_2&\dots&u_mv_n\end{bmatrix}$$E cada coluna do resultado é o próprio \(\mathbf{u}\) escalado:
$$\mathbf{u}\mathbf{v}^T=\begin{bmatrix}v_1\mathbf{u}&v_2\mathbf{u}&\dots&v_n\mathbf{u}\end{bmatrix}$$\(AB\) como soma de produtos externos
A quarta forma de multiplicar: em vez de linha contra coluna, coluna de \(A\) contra linha de \(B\).
Tomando as colunas \(\mathbf{a}_i\) de \(A\) e as linhas \(\mathbf{b}_i^T\) de \(B\):
$$\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&\dots&b_{1p}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&\dots&b_{np}\end{bmatrix}=\mathbf{a}_1\mathbf{b}_1^T+\mathbf{a}_2\mathbf{b}_2^T+\dots+\mathbf{a}_n\mathbf{b}_n^T$$Cada produto externo \(\mathbf{a}_i\mathbf{b}_i^T\) é uma matriz de tamanho \(m\times p\):
$$\underbrace{\big[\;\cdot\;\big]_{m\times p}}_{\mathbf{a}_1\mathbf{b}_1^T}+\underbrace{\big[\;\cdot\;\big]_{m\times p}}_{\mathbf{a}_2\mathbf{b}_2^T}+\dots+\underbrace{\big[\;\cdot\;\big]_{m\times p}}_{\mathbf{a}_n\mathbf{b}_n^T}=\big[\;\cdot\;\big]_{m\times p}$$São \(n\) matrizes do mesmo tamanho do resultado, somadas. É essa leitura que faz a fatoração da seção seguinte parecer natural.
Decomposições (fatorações)
A fatoração é o processo de definir uma matriz \(A\) como produto de outras matrizes com alguma propriedade ou topologia (padrão de esparsidade) particular, mais convenientes para algum propósito específico.
As fatorações que a disciplina vai ver, na ordem:
| # | Fatoração | Nome |
|---|---|---|
| 1 | \(A=CR\) | Column-Row |
| 2 | \(A=LU\) | Lower-Upper |
| 3 | \(A=QR\) | Ortogonal-Triangular superior |
| 4 | \(A=X\Lambda X^{-1}\) | Decomposição espectral |
| 5 | \(A=Q\Lambda Q^{T}\) | Decomposição espectral com matrizes simétricas |
| 6 | \(A=U\Sigma V^{T}\) | Decomposição em valores singulares (SVD) |
Decomposição \(A=CR\)
A decomposição \(A=CR\) define uma matriz \(A\) a partir do produto de:
- \(C\) — uma matriz contendo as colunas L.I. de \(A\);
- \(R\) — uma matriz contendo as linhas não nulas da forma escalonada reduzida de \(A\).
Matriz \(A\) com uma coluna L.I., ou seja, \(\mathrm{posto}(A)=1\):
$$A=\begin{bmatrix}1&3&8\\1&3&8\\1&3&8\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}_{C}\;\underbrace{\begin{bmatrix}1&3&8\end{bmatrix}}_{R}$$Conferindo pela definição de produto: \(C\) é \(3\times1\), \(R\) é \(1\times3\), o produto é \(3\times3\). E cada entrada sai de um produto interno de tamanho 1:
$$(CR)_{ij}=C_i\cdot R_j \;\Rightarrow\; (CR)_{12}=1\cdot 3=3,\quad (CR)_{33}=1\cdot 8=8$$Com posto 1, \(C\) tem uma coluna e \(R\) uma linha — o produto é exatamente um produto externo, do tópico anterior.
\(A=CR\) com posto 2
Agora com uma matriz \(A\) com duas colunas L.I., ou seja, \(\mathrm{posto}(A)=2\):
$$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\3&1&4\\5&7&12\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}2&1\\3&1\\5&7\end{bmatrix}}_{C}\;\underbrace{\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}_{R}$$Conferindo coluna a coluna, pela concatenação horizontal \(CR=[\,CR_1\;\;CR_2\;\;CR_3\,]\):
$$C\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix},\qquad C\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\7\end{bmatrix},\qquad C\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\\12\end{bmatrix}$$As três colunas de \(A\), de volta. Note o que \(R\) guarda: a receita para reconstruir cada coluna de \(A\) a partir das colunas L.I. A terceira coluna de \(R\) é \([1,1]^T\) porque \(A_3=A_1+A_2\).
Falta ainda saber de onde saem \(C\) e \(R\) na prática. É para isso que a aula introduz forma escalonada, Gauss e Gauss-Jordan.
Forma escalonada (row echelon form)
Uma matriz está em forma escalonada — formato triangular em “escada” — quando satisfaz:
- Linhas nulas: todas as linhas nulas ficam abaixo das linhas não nulas.
- Pivôs: o primeiro elemento não nulo de cada linha (o pivô) aparece mais à direita do que o pivô da linha anterior.
- Abaixo dos pivôs: todos os elementos abaixo de um pivô são zero.
Pivôs: o \(2\) na posição \((0,0)\) e o \(-\frac12\) na posição \((1,1)\) — cada um mais à direita que o anterior. A linha nula está no fim. Tudo abaixo dos pivôs é zero.
Eliminação de Gauss
A eliminação de Gauss é um algoritmo para transformar uma matriz em forma escalonada, permitindo:
- resolver sistemas lineares;
- calcular o posto da matriz.
Dois pivôs, uma linha nula — e daí sai direto que \(\mathrm{posto}(A)=2\).
O algoritmo de Gauss
A ideia geral é percorrer as colunas executando três operações. Para cada coluna de 1 até \(n\):
- encontrar pivô;
- trocar linhas, se necessário;
- zerar linhas abaixo do pivô.
m ← número de linhas de An ← número de colunas de Ali ← 0para c = 0 até n-1:# 1. Encontrar pivôpivo ← primeira linha i ≥ li tal que A[i,c] ≠ 0se não existir pivô:continuar para próxima coluna# 2. Trocar linhas, se necessáriose pivo ≠ li, trocar linha li com linha do pivo# 3. Zerar linhas abaixo do pivôpara j = li+1 até m-1:fator ← A[j,c] / A[li,c]A[j,*] ← A[j,*] − fator · A[li,*]li ← li + 1se li > m:pararretornar A
As duas linhas destacadas são o coração do método: o fator é escolhido justamente para anular a entrada \(A[j,c]\), e a linha inteira é atualizada junto.
Gauss passo a passo
1. Encontrar pivô: a primeira linha \(i\ge 0\) com \(A[i,0]\ne0\) é a linha 0, pois \(2\ne0\). Logo \(pivo=0\).
2. Trocar linhas: não é necessário, \(pivo=li\).
3. Zerar linhas abaixo:
$$L_1\leftarrow L_1-\tfrac32 L_0\quad(\text{fator}=3/2),\qquad L_2\leftarrow L_2-\tfrac52 L_0\quad(\text{fator}=5/2)$$Linha por linha:
$$L_1=[3,\,1,\,4]-\tfrac32[2,\,1,\,3]=\left[0,\,-\tfrac12,\,-\tfrac12\right]$$ $$L_2=[5,\,7,\,12]-\tfrac52[2,\,1,\,3]=\left[0,\,\tfrac92,\,\tfrac92\right]$$ $$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&-\frac12&-\frac12\\0&\frac92&\frac92\end{bmatrix}$$Agora \(li=1\) e \(c=1\).
1. Encontrar pivô: \(A[1,1]=-\frac12\ne0\), logo \(pivo=1\).
2. Trocar linhas: não é necessário, \(pivo=li\).
3. Zerar linhas abaixo:
$$L_2\leftarrow L_2+9L_1$$ $$L_2=\left[0,\,\tfrac92,\,\tfrac92\right]+9\left[0,\,-\tfrac12,\,-\tfrac12\right]=[0,\,0,\,0]$$ $$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&-\frac12&-\frac12\\0&0&0\end{bmatrix}\qquad\text{forma escalonada!}$$Matriz escalonada reduzida
Uma matriz está em forma escalonada reduzida quando:
- está escalonada;
- cada pivô é igual a 1;
- cada pivô é o único elemento não nulo de sua coluna.
Eliminação de Gauss-Jordan
A eliminação de Gauss-Jordan é um algoritmo para transformar uma matriz em forma escalonada reduzida. Segue a mesma ideia da eliminação de Gauss, com duas diferenças:
- os pivôs são normalizados para 1;
- além das linhas de baixo do pivô, as linhas de cima também são zeradas.
m ← número de linhas de An ← número de colunas de Ali ← 0para c = 0 até n-1:# 1. Encontrar pivô...# 2. Trocar linhas, se necessário...# 3. Normalizar a linha do pivôA[li,*] ← A[li,*] / A[li,pivo]# 4. Zerar as outras linhas (abaixo e acima)para j = 0 até m-1:se j ≠ li:fator ← A[j,c] / A[li,c]A[j,*] ← A[j,*] − fator · A[li,*]li ← li + 1se li > m:pararretornar A
Coluna \(c=0\), \(li=0\). Pivô é o \(2\). Normalizar:
$$L_0\leftarrow \tfrac{L_0}{2}=\left[1,\,\tfrac12,\,\tfrac32\right]$$Zerar as outras (aqui só há linhas abaixo):
$$L_1=[3,1,4]-3\left[1,\tfrac12,\tfrac32\right]=\left[0,-\tfrac12,-\tfrac12\right]$$ $$L_2=[5,7,12]-5\left[1,\tfrac12,\tfrac32\right]=\left[0,\tfrac92,\tfrac92\right]$$Coluna \(c=1\), \(li=1\). Pivô é o \(-\frac12\). Normalizar:
$$L_1\leftarrow \frac{L_1}{-\frac12}=[0,\,1,\,1]$$Zerar as outras — agora também a de cima:
$$L_0=\left[1,\tfrac12,\tfrac32\right]-\tfrac12[0,1,1]=[1,\,0,\,1]$$ $$L_2=\left[0,\tfrac92,\tfrac92\right]-\tfrac92[0,1,1]=[0,\,0,\,0]$$ $$A'=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}$$Algoritmo para calcular \(A=CR\)
- Aplique eliminação de Gauss-Jordan em \(A\) para encontrar a forma escalonada reduzida \(A'\).
- Construa a matriz \(C\) com as colunas de \(A\) cujos índices são colunas pivô em \(A'\).
- Construa a matriz \(R\) com as linhas não nulas de \(A'\).
Passo 1 — forma escalonada reduzida:
$$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\3&1&4\\5&7&12\end{bmatrix}\;\to\;A'=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}$$Passo 2 — as colunas pivô de \(A'\) são a 1ª e a 2ª; pegue as colunas de mesmo índice em \(A\):
$$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\3&1&4\\5&7&12\end{bmatrix},\;A'=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}\;\to\;C=\begin{bmatrix}2&1\\3&1\\5&7\end{bmatrix}$$Passo 3 — as linhas não nulas de \(A'\):
$$A'=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}\;\to\;R=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}$$\(C\) e \(R\) como bases dos dois espaços
A decomposição não é só um jeito de reescrever \(A\): os dois fatores são exatamente as bases dos espaços coluna e linha.
$$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\3&1&4\\5&7&12\end{bmatrix}\qquad C=\begin{bmatrix}2&1\\3&1\\5&7\end{bmatrix}\qquad R=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}$$Se \(\mathbf{b}\in C(A)\), existe \(\mathbf{x}\) com \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Substituindo \(A=CR\):
$$CR\mathbf{x}=C(R\mathbf{x})=C\mathbf{z}=\mathbf{b}$$então \(\mathbf{b}\in C(C)\), pois \(\mathbf{z}=(R\mathbf{x})\) certifica isso.
Se \(\mathbf{b}\in C(A^T)\), existe \(\mathbf{x}\) com \(A^T\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Como \(A^T=(CR)^T=R^TC^T\):
$$(R^TC^T)\mathbf{x}=R^T(C^T\mathbf{x})=R^T\mathbf{z}=\mathbf{b}$$então \(\mathbf{b}\in C(R^T)\), pois \(\mathbf{z}=(C^T\mathbf{x})\) certifica isso.
Os dois argumentos são o mesmo truque: associar o produto de outro jeito e ler o fator restante como o vetor de pesos. Essa leitura volta nos quatro subespaços fundamentais, na aula seguinte.
Checklist da A3
Se você consegue responder tudo abaixo sem consultar, a aula está fechada.
| Pergunta | Onde está |
|---|---|
| Escrever \(Ax\) como combinação linear e dar a base de \(C(A)\) | Exemplo 1 e Exemplo 2 |
| Dizer se \(C(A)\) é reta, plano ou espaço, olhando as colunas | Exemplo 1 e Exemplo 2 |
| Enunciar a condição de independência linear de um conjunto | Independência linear |
| Calcular o posto e dizer se ele é completo | Posto (rank) |
| Multiplicar \(AB\) nas quatro leituras (interno, duas concatenações, externos) | Tópicos 06 a 10 |
| Distinguir \(\mathbf{u}^T\mathbf{v}\) de \(\mathbf{u}\mathbf{v}^T\) | Produto externo |
| Listar as seis fatorações da disciplina | Decomposições |
| Rodar a eliminação de Gauss à mão até a forma escalonada | Gauss passo a passo |
| Diferenciar forma escalonada de forma escalonada reduzida | Matriz escalonada reduzida |
| Rodar Gauss-Jordan e obter \(A'\) | Eliminação de Gauss-Jordan |
| Montar \(C\) e \(R\) a partir de \(A\) e \(A'\) | Algoritmo do \(A=CR\) |
| Justificar por que \(C\) é base de \(C(A)\) e \(R\) de \(C(A^T)\) | \(C\) e \(R\) como bases |