Convergência absolutarazão, raiz e séries alternadas

Exemplo · a p-série alternada, com \(p>1\) $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}, \qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}$$

A série dos módulos é exatamente a p-série. Da A2: se \(p>1\), converge. Logo, para \(p>1\), a alternada é absolutamente convergente — e o teorema anterior garante que ela é convergente.

Exemplo · \(\sum \operatorname{sen}(1/n)\) $$\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)$$

O limite fundamental do seno é

$$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1$$

e como \(1/n\to 0\), ele se lê diretamente na sequência:

$$\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} \longrightarrow 1, \qquad n\to+\infty$$

Isso é a comparação no limite da A2, com \(b_n = 1/n\) e \(c=1\), que está entre 0 e \(+\infty\). Como \(\sum 1/n\) diverge, \(\sum\operatorname{sen}(1/n)\) diverge junto.

Exemplo · montando o quociente $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^n}{n!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}$$

Abrindo \((n+1)! = (n+1)\,n!\), o \(n!\) cancela e um fator \((n+1)\) desce do expoente:

$$= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)\,n!}\cdot\frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$

E esse é o limite do próximo tópico:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} e$$

Como \(L = e \approx 2{,}718 > 1\), a série diverge.

1) \(L < 1\) · converge $$a_n = \left(\frac{n-1}{2n+1}\right)^{n}$$ $$\sqrt[n]{a_n} = \left[\left(\frac{n-1}{2n+1}\right)^{n}\right]^{\frac{1}{n}}$$

A raiz cancela o expoente, e o resto é limite de racional — coloca-se \(n\) em evidência em cima e embaixo:

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{n-1}{2n+1} = \frac{n\left(1-\frac{1}{n}\right)}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)} \longrightarrow \frac{1}{2} = L$$

Como \(L=\frac{1}{2} < 1\), a série é absolutamente convergente.

2) \(L > 1\) · diverge $$a_n = \left(\frac{2n-1}{n+1}\right)^{n}$$ $$\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n-1}{n+1} \longrightarrow 2$$

Como \(L=2>1\), a série diverge.

3) \(L = 1\) · inconclusivo $$\sqrt[n]{a_n} = \frac{n-1}{n+1} \longrightarrow 1$$

Aqui o teste não decide nada. O tópico seguinte resolve por outro caminho.

Exemplo · \(\sum\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n}\)

Primeiro, forçar o numerador a exibir o denominador:

$$\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n} = \left(\frac{n+1-1-1}{n+1}\right)^{n} = \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n}$$

O expoente é \(n\), mas a fórmula do limite pede \(n+1\). Multiplica-se e divide-se por mais um fator:

$$= \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n}\cdot\frac{\left(1-\frac{2}{n+1}\right)}{\left(1-\frac{2}{n+1}\right)}$$ $$= \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{2}{n+1}\right)}$$

Agora é a versão geral do tópico 07, com \(a=-2\) e \(x=n+1\). O primeiro fator tende a \(e^{-2}\), o segundo a 1:

$$\longrightarrow e^{-2} \neq 0$$

O termo geral não vai a zero, logo a série diverge pelo teste da divergência.

Pela exponencial · o mesmo limite, sem o ajuste do expoente

Quem não quiser fabricar o \(n+1\) pode passar pela exponencial, que transforma a potência num quociente \(0/0\):

$$\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x} = e^{\,x\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}$$ $$= e^{\dfrac{\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}}}$$

O expoente vira um \(0/0\), que sai por L'Hôpital e dá \(-2\) — mesmo \(e^{-2}\) de antes.

Conferindo as três hipóteses

(1) Positividade:

$$b_n = \frac{1}{n^p} \ge 0$$

(2) Decrescimento, pela função associada:

$$f(x) = \frac{1}{x^p}, \qquad f'(x) = -\frac{p}{x^{p+1}} < 0$$

Obs. É a regra da potência: \(f(x)=x^{-p}\) dá \(f'(x)=-p\,x^{-p-1}\). O sinal é negativo porque \(p>0\) e \(x^{p+1}>0\) — logo \(f\) é decrescente e \(b_n \ge b_{n+1}\).

(3) Termo geral indo a zero:

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^p} = 0$$

Portanto, a série \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\) é convergente, se \(p>0\).

Exemplo · \(\sum \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}\) com erro \(0{,}001\) $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}$$ $$b_n = \frac{1}{(n+1)!}, \qquad b_{n+1} = \frac{1}{(n+2)!}$$

Basta impor que o primeiro termo descartado já esteja abaixo do erro pedido:

$$\frac{1}{(n+2)!} < \frac{1}{10^3}$$

Fatorial não se isola, então minora-se o fatorial por uma potência. Abrindo quatro fatores:

$$(n+2)! = (n+2)(n+1)\,n\,(n-1)! \;\ge\; n^3(n-1)! \;\ge\; n^3$$

Obs. Os três primeiros fatores são todos \(\ge n\), o que dá o \(n^3\); e \((n-1)!\ge 1\), o que permite descartá-lo. Invertendo a desigualdade:

$$\Longrightarrow \frac{1}{(n+2)!} \le \frac{1}{n^3} \le \frac{1}{10^3} \Longrightarrow n \ge 10$$

Dez termos bastam para garantir erro menor que 0,001.