Representação em séries de potênciasderivar, integrar e substituir na geométrica

Exemplo · \(y = \operatorname{sen}(x)\) $$\frac{1}{1-\operatorname{sen}(x)} = 1 + \operatorname{sen}(x) + \operatorname{sen}^{2}(x) + \dots + \operatorname{sen}^{n}(x) + \dots$$

desde que \(|\operatorname{sen}(x)| < 1\). A condição não é decoração: em \(x=\pi/2\) o seno vale 1, o lado esquerdo explode e a igualdade morre.

Exemplo · traduzir a condição de volta para \(x\)

Com \(f(x) = x^{2}\), a condição do teorema é \(|x^{2}| < R\). Ela ainda não é resposta: precisa virar um intervalo em \(x\).

$$|x^{2}| < R$$ $$|x|^{2} < R \iff |x| < \sqrt{R}$$

O raio da série nova é \(\sqrt{R}\), não \(R\).

Exemplo · a série converge $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}(n!\,x)}{n^{2}} \;\le\; \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}$$

Obs. \(|\operatorname{sen}(n!\,x)| \le 1\) para todo \(x\), então cada termo é limitado por \(1/n^{2}\). A da direita é p-série com \(p=2>1\), converge — e por comparação a da esquerda converge também, para todo \(x\).

Exemplo · a derivada termo a termo não converge

Derivando parcela por parcela, a regra da cadeia joga o \(n!\) para fora:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n!\cos(n!\,x)}{n^{2}}$$

Basta testar no ponto mais barato. Para \(x=0\), \(\cos(0)=1\):

$$\text{para } x = 0 \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n!}{n^{2}}$$

O fatorial esmaga o \(n^{2}\): o termo geral vai a \(+\infty\), e a série diverge pelo teste da divergência.

Etapa 1 · forçar o formato \(1-y\) $$\frac{1}{3+x} = \frac{1}{3\left(1+\dfrac{x}{3}\right)} = \frac{1}{3\left(1-\left(-\dfrac{x}{3}\right)\right)}$$

Obs. Dois ajustes: põe-se o 3 em evidência para o primeiro termo virar 1, e escreve-se \(+\,x/3\) como \(-\,(-x/3)\) para o sinal bater com o do denominador da geométrica. Agora \(y = -x/3\).

Etapa 2 · abrir a geométrica $$\frac{1}{3+x} = \frac{1}{3}\left(1 + \left(-\frac{x}{3}\right) + \left(-\frac{x}{3}\right)^{2} + \dots + \left(-\frac{x}{3}\right)^{n} + \dots\right)$$ $$= \frac{1}{3} - \frac{x}{3^{2}} + \frac{x^{2}}{3^{3}} + \dots + (-1)^{n}\frac{x^{n}}{3^{n+1}} + \dots$$

Obs. O \(1/3\) de fora entra em cada parcela e por isso o expoente do 3 fica \(n+1\); o sinal de \((-x/3)^n\) vira \((-1)^n\).

Etapa 3 · o intervalo $$\text{desde que}\quad \left|-\frac{x}{3}\right| < 1 \iff |x| < 3$$ $$\left(-3,\;3\right)$$

Exemplo · \(y = -x\) $$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = 1 - x + x^{2} + \dots + (-1)^{n}x^{n} + \dots$$

A troca de \(x\) por \(-x\) só alterna os sinais. A condição \(|-x|<1\) é a mesma \(|x|<1\): aqui o intervalo não muda.

Exemplo · derivando os dois lados

À esquerda, derivada comum; à direita, o tópico 02:

$$\left(\frac{1}{1+x}\right)' = \frac{-1}{(1+x)^{2}} = -1 + 2x + \dots + (-1)^{n}n\,x^{n-1} + \dots$$

Obs. O termo constante 1 morreu, o \(-x\) virou \(-1\), o \(x^2\) virou \(2x\). Uma derivada de graça produziu a série de \(-1/(1+x)^{2}\), que ninguém montaria do zero.

Etapa 1 · reconhecer a primitiva e abrir $$\ln(1+x) = \int \frac{1}{1+x}\,dx = \int\frac{1}{1-(-x)}\,dx$$ $$= \int\left(1 - x + x^{2} + \dots + (-1)^{n}x^{n} + \dots\right)dx$$ $$= x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \dots + (-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1} + \dots + C, \qquad \text{se } |x| < 1$$

Etapa 2 · achar o \(C\) $$\text{em } x = 0 \;\Longrightarrow\; \ln(1) = C$$

E \(\ln(1) = 0\), porque toda parcela do lado direito tem \(x\) em evidência e zera. Logo \(C = 0\):

$$\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}, \qquad \boxed{\,|x| < 1\,}$$

Exemplo · \(\ln(1-x)\), trocando \(x\) por \(-x\) $$\ln(1-x) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{(-x)^{n+1}}{n+1}, \qquad \text{se } |-x| < 1$$

Agora abre-se o \((-x)^{n+1}\):

$$\ln(1-x) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}(-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Obs. \((-1)^{n}(-1)^{n+1} = (-1)^{2n+1} = -1\), para todo \(n\). Os sinais alternados se anulam e sobra um sinal fixo:

$$\ln(1-x) = -\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}, \qquad |x| < 1$$

Exemplo · \(\ln(1-x^{2})\), trocando \(x\) por \(-x^{2}\) $$\ln(1-x^{2}) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{n+1}, \qquad |-x^{2}| < 1$$

E a condição se resolve em \(x\) como no tópico 05:

$$|-x^{2}| < 1 \;\Longrightarrow\; |x| < 1$$

Exemplo · pôr \(x\) em evidência $$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+2}}{n+1} = x\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Obs. \(x^{n+2} = x\cdot x^{n+1}\), e o \(x\) não depende de \(n\): sai do somatório. O que ficou dentro é exatamente a série do tópico 09.

$$= x\ln(1+x), \qquad |x| < 1$$

Etapa 1 · \(y = -x^{2}\) dentro da integral $$\operatorname{arctg}(x) = \int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \int\frac{1}{1-\left(-x^{2}\right)}\,dx$$ $$= \int\left(1 + \left(-x^{2}\right) + \left(-x^{2}\right)^{2} + \dots + \left(-x^{2}\right)^{n} + \dots\right)dx$$

Etapa 2 · integrar termo a termo $$\operatorname{arctg}(x) = \int\left(1 - x^{2} + x^{4} + \dots + (-1)^{n}x^{2n} + \dots\right)dx$$ $$= x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + \dots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \dots + C$$

Obs. Só sobram expoentes ímpares, porque \(x^{2n}\) integrado dá \(x^{2n+1}/(2n+1)\).

Etapa 3 · o \(C\) e o intervalo $$x = 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{arctg}(0) = 0 + C$$ $$\Longrightarrow C = 0, \qquad |x| < 1$$

Exemplo · \(\operatorname{arctg}(x^{2})\) por substituição $$\operatorname{arctg}(x^{2}) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{\left(x^{2}\right)^{2n+1}}{2n+1}$$

Multiplicando os expoentes:

$$\operatorname{arctg}(x^{2}) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{2n+1}$$

Obs. \(\left(x^{2}\right)^{2n+1} = x^{2(2n+1)} = x^{4n+2}\).

Exemplo · derivando \(\operatorname{arctg}(x^{2})\)

Pelo lado da função, com regra da cadeia:

$$\frac{1}{1+\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot(2x) = \frac{2x}{1+x^{4}}$$

A mesma derivada sai da série, pelo tópico 02 — e é o teste mais rápido de que a série que você escreveu está certa.

Exemplo · centro \(x_0 = 1\) $$\frac{1}{x} = \frac{1}{1-1+x} = \frac{1}{1-(1-x)} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + \dots$$

Obs. Escreve-se \(x\) como \(1-1+x\) e agrupa-se \(-1+x = -(1-x)\). Aí \(y = 1-x\).

A condição \(|y|<1\) vira um intervalo em \(x\):

$$|1-x| < 1$$ $$-1 < 1-x < 1$$ $$-2 < -x < 0$$ $$\boxed{\;0 < x < 2\;}$$

Falta arrumar a série para ficar em potências de \((x-1)\), que é a forma canônica com centro 1:

$$\frac{1}{x} = 1 - (x-1) + (x-1)^{2} - (x-1)^{3} + \dots = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}$$

Obs. \((1-x)^{n} = (-1)^{n}(x-1)^{n}\) — é só trocar a ordem da subtração e pagar com um sinal.

Exemplo · centro \(x_0\) qualquer

A mesma conta, com o centro em aberto:

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{x_0 - x_0 + x} = \frac{1}{x_0 - (x_0-x)}$$

Põe-se \(x_0\) em evidência para o primeiro termo virar 1:

$$= \frac{1}{x_0\left(1-\dfrac{x_0-x}{x_0}\right)} = \frac{1}{x_0}\left(1 + \left(\frac{x_0-x}{x_0}\right) + \dots\right)$$ $$= \frac{1}{x_0}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{\left(x-x_0\right)^{n}}{x_0^{\,n}}$$ $$= \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{\left(x-x_0\right)^{n}}{x_0^{\,n+1}}$$

Obs. De novo \((x_0-x)^{n} = (-1)^{n}(x-x_0)^{n}\), e o \(1/x_0\) de fora junta-se ao \(x_0^{\,n}\) virando \(x_0^{\,n+1}\).

E a condição:

$$\left|\frac{x-x_0}{x_0}\right| < 1 \iff |x-x_0| < |x_0|$$