A pergunta invertida
O ponto de partida é o mesmo objeto da A4 e da A5 — uma série de potências centrada em \(x_0\), válida dentro do seu raio:
ou, por extenso,
$$f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + \dots + a_n(x-x_0)^{n} + \dots$$A pergunta do quadro, escrita com todas as letras:
Dada uma função, será que existe uma série que representa esta função?
E as funções que o quadro pôs como alvo:
$$f(x): \quad e^{x}, \quad \operatorname{tg}(x), \quad \operatorname{sen}(x), \ \dots$$Os coeficientes de Taylor
Se a função é a soma daquela série, os coeficientes ficam presos: cada \(a_n\) é obrigado a valer a \(n\)-ésima derivada de \(f\) no centro, dividida por \(n!\).
Os primeiros casos, que aparecem soltos em toda questão:
$$f(x_0) = a_0, \qquad f'(x_0) = a_1, \qquad f''(x_0) = 2a_2$$Quando o centro é \(x_0 = 0\), ela ganha nome próprio — série de Maclaurin — e o coeficiente encurta:
$$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}, \qquad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}$$Daí sai o roteiro que resolve toda a parte 3 desta aula, sem exceção:
1. Derivar \(f\) várias vezes até o padrão se repetir.
2. Avaliar cada derivada em \(x_0\).
3. Dividir por \(n!\) — esse é o coeficiente.
4. Escrever o somatório e dizer para quais \(x\) ele vale.
A série de \(e^{x}\)
Primeira aplicação do roteiro, com a função mais cômoda que existe para ele.
Derivar é trivial, porque a exponencial é a sua própria derivada:
$$\left(e^{x}\right)' = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad f^{(n)}(x) = e^{x} \ \text{ para todo } n$$Avaliando no centro \(x_0 = 0\):
$$f^{(n)}(0) = e^{0} = 1$$Dividindo por \(n!\):
$$a_n = \frac{1}{n!}$$E a série:
$$\boxed{\;e^{x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!}\;}$$Por extenso, na forma em que ela é usada nos exercícios:
$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$$Polinômio de Taylor e resto
Escrever a série inteira é uma coisa; usá-la na prática é outra — na prática se soma um pedaço e se joga o resto fora. O quadro deu nome aos dois pedaços partindo a série em duas:
\(T_n\) é o polinômio de Taylor de grau \(n\): uma soma finita, que dá para calcular. \(R_n\) é o resto: o erro que se comete ao trocar \(f\) por \(T_n\).
Obs. Cada linha é a anterior mais um termo — nada se recalcula. E os denominadores são \(0!,\,1!,\,2!\), o que explica o 2 aparecendo só no terceiro.
A cota do resto
Chamar \(R_n\) de erro só serve se der para dizer de quanto ele é. O teorema faz isso, cobrando uma única coisa: que a derivada de ordem \(n+1\) não escape num intervalo em torno do centro.
Se
$$\left|f^{(n+1)}(x)\right| \le M, \qquad \text{para } x \in \left(x_0-d,\; x_0+d\right), \quad (d>0)$$então
$$\boxed{\;\left|R_n(x)\right| \le \frac{M}{(n+1)!}\left|x-x_0\right|^{n+1}\;}$$Achar o \(M\) é a parte da questão que exige trabalho — e no caso da exponencial ele sai de um argumento de uma linha.
Com \(x_0 = 0\), o intervalo é \(x \in (-d,\,d)\). Todas as derivadas de \(e^{x}\) são \(e^{x}\), e a exponencial é crescente, então dentro desse intervalo
$$e^{x} \le e^{d}$$Serve \(M = e^{d}\), e a cota fica
$$\left|R_n(x)\right| \le \frac{e^{d}}{(n+1)!}\,|x|^{n+1}$$Por que a série de \(e^{x}\) vale em todo \(\mathbb{R}\)
Escrever a série é metade do serviço; a outra metade é dizer para quais \(x\) a igualdade vale. Aqui a resposta é a melhor possível, e sai do teste da razão da A3 aplicado aos termos da própria série.
Obs. O \(x^{n}\) cancela com \(x^{n+1}\) deixando \(|x|\), e \(n!/(n+1)! = 1/(n+1)\).
O limite é 0 seja qual for o \(x\) fixado — o \(|x|\) é uma constante em frente a um \(1/(n+1)\) que morre. Logo o raio é infinito:
$$\boxed{\;e^{x} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \quad \text{para cada } x \in \mathbb{R}\;}$$A integral que não tem primitiva
Aqui a série deixa de ser curiosidade e vira ferramenta. \(e^{x^{2}}\) não tem primitiva elementar — não existe função em termos de \(\operatorname{sen}\), \(\ln\), potências e afins cuja derivada seja ela. Em série, integra-se sem dificuldade.
Primeiro troca-se \(x\) por \(x^{2}\) na série da exponencial:
$$\int_0^1 e^{x^{2}}\,dx = \int_0^1\left(1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + \dots + \frac{x^{2n}}{n!} + \dots\right)dx$$Integra-se termo a termo, pela licença da A5:
$$= \left(x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{2\cdot 5} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + \dots\right)\Bigg|_0^{1}$$Obs. Cada \(x^{2n}/n!\) vira \(x^{2n+1}/\big(n!\,(2n+1)\big)\): sobe o expoente e divide pelo novo expoente, com o \(n!\) que já estava lá vindo junto.
Em \(x=1\) toda potência vale 1, e em \(x=0\) tudo zera:
$$= 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2\cdot 5} + \dots + \frac{1}{n!\,(2n+1)} + \dots$$Mesma substituição, agora com sinal. Trocando \(x\) por \(-x^{2}\):
$$e^{-x^{2}} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\left(-x^{2}\right)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}$$Obs. \((-x^{2})^{n} = (-1)^{n}x^{2n}\) — o sinal sai inteiro para fora, e o expoente 2 multiplica o \(n\).
Substituir dentro de \(e^{x}\)
Como a série de \(e^{x}\) vale em todo \(\mathbb{R}\), não há condição nenhuma a verificar ao pôr outra coisa no lugar de \(x\) — nem número, nem função.
Os três primeiros termos já dão 2,5. O quarto acrescenta \(1/6\) e leva a 2,666…; o padrão continua fechando em 2,718…
No lugar de \(x\) entra a função inteira:
$$e^{\operatorname{sen}(x)} = 1 + \operatorname{sen}(x) + \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{2} + \dots + \frac{\operatorname{sen}^{n}(x)}{n!} + \dots$$A série do seno
Segunda aplicação do roteiro, e a que mais aparece em prova. Centro em \(x_0 = 0\), coeficiente \(a_n = f^{(n)}(0)/n!\).
Derivando e avaliando em 0, uma ordem por vez:
$$\operatorname{sen}(0) = 0$$ $$\left(\operatorname{sen}(x)\right)' = \cos(x) \;\Longrightarrow\; \left(\operatorname{sen}(0)\right)' = 1$$ $$\left(\operatorname{sen}(x)\right)'' = -\operatorname{sen}(x) \;\Longrightarrow\; \left(\operatorname{sen}(0)\right)'' = 0$$ $$\left(\operatorname{sen}(x)\right)''' = -\cos(x) \;\Longrightarrow\; \left(\operatorname{sen}(0)\right)''' = -1$$Na quarta derivada volta-se ao seno, e o padrão se repete de quatro em quatro. A lista dos valores \(f^{(n)}(0)\):
$$0,\; 1,\; 0,\; -1,\qquad 0,\; 1,\; 0,\; -1,\qquad \dots$$Metade dos termos morre: sobram só os de índice ímpar, alternando sinal. Dividindo cada um pelo seu \(n!\):
$$\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$$Em somatório, com o índice reescrito para varrer só os ímpares:
$$\boxed{\;\operatorname{sen}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}\;}$$O limite \(\operatorname{sen}(x)/x\) pela série
O limite fundamental do Cálculo I, resolvido sem L'Hôpital e sem confronto — só dividindo a série por \(x\).
Obs. Todo termo do seno tem pelo menos um \(x\), então a divisão não deixa nenhuma potência negativa — a indeterminação \(0/0\) simplesmente some.
Fazendo \(x \to 0\), todas as potências restantes zeram e sobra o termo constante:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1$$A série do cosseno
Não é preciso repetir o roteiro: o cosseno é a derivada do seno, e a série do seno se deriva termo a termo — a licença é a da A5.
Derivando termo a termo o lado direito:
$$\cos(x) = 1 - \frac{3x^{2}}{3!} + \dots + (-1)^{n}\frac{(2n+1)\,x^{2n}}{(2n+1)!} + \dots$$Obs. A derivada de \(x^{2n+1}\) é \((2n+1)x^{2n}\); o fator \((2n+1)\) desce e cancela com o topo do fatorial, porque \((2n+1)! = (2n+1)\cdot(2n)!\).
$$\boxed{\;\cos(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n}}{(2n)!}\;}$$Produto de duas séries
Para chegar em \(\operatorname{tg}(x)\) falta saber multiplicar e dividir séries. A multiplicação é a distributiva de sempre, organizada por potência de \(x\).
Multiplicando \(a_0 + a_1x + a_2x^{2} + \dots\) por \(b_0 + b_1x + b_2x^{2} + \dots\), e empilhando os produtos parciais:
$$a_0b_0 + a_1b_0\,x + a_2b_0\,x^{2} + \dots$$ $$\phantom{a_0b_0 +\ } a_0b_1\,x + a_1b_1\,x^{2} + \dots$$ $$\phantom{a_0b_0 + a_0b_1\,x +\ } a_0b_2\,x^{2} + \dots$$Somando coluna por coluna:
$$a_0b_0 + \left(a_1b_0 + a_0b_1\right)x + \left(a_2b_0 + a_1b_1 + a_0b_2\right)x^{2} + \dots$$ $$= c_0 + c_1x + c_2x^{2} + \dots$$E o produto inteiro:
$$f(x)\cdot g(x) = \left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^{n}\right)$$ $$= \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\,b_k\right)x^{n}$$Exemplo: \(\operatorname{sen}(x)\cdot\cos(x)\)
Escrevendo as duas séries com os zeros no lugar, para não errar índice:
$$\operatorname{sen}(x)\cos(x) =$$ $$\left(0 + x + 0 - \frac{x^{3}}{3!} + \dots\right)\left(1 + 0 - \frac{x^{2}}{2} + 0 + \frac{x^{4}}{4!} + \dots\right)$$Ou seja \(a_0=0,\ a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1/3!\) e \(b_0=1,\ b_1=0,\ b_2=-1/2,\ b_3=0\). Aplicando \(c_n = \sum a_{n-k}b_k\):
$$c_0 = a_0b_0 = 0$$ $$c_1 = a_1b_0 + a_0b_1 = 1\cdot 1 + 0 = 1$$ $$c_2 = a_2b_0 + a_1b_1 + a_0b_2 = 0 + 0 + 0 = 0$$Logo
$$\operatorname{sen}(x)\cos(x) = x + \dots$$Quociente: a série de \(\operatorname{tg}(x)\)
Dividir séries não tem fórmula fechada. O que se faz é virar a divisão do avesso: chamar o quociente de \(\sum c_nx^{n}\), multiplicar de volta e igualar coeficiente a coeficiente.
Passando o denominador para o outro lado, vira um produto — e o produto já se sabe fazer:
$$\sum a_nx^{n} = \left(\sum b_nx^{n}\right)\left(\sum c_nx^{n}\right)$$ $$\Longrightarrow\qquad a_n = \sum_{k=0}^{n} b_{n-k}\,c_k$$Aqui \(a_n\) e \(b_n\) são conhecidos (seno e cosseno) e o \(c_n\) é a incógnita. Escrevendo as equações em ordem, cada uma tem um \(c\) novo:
$$a_0 = b_0c_0$$ $$a_1 = b_1c_0 + b_0c_1$$ $$a_2 = b_2c_0 + b_1c_1 + b_0c_2$$Com \(a = (0,\,1,\,0,\,-1/3!)\) e \(b = (1,\,0,\,-1/2,\,0)\):
$$a_0 = 0: \qquad 0 = 1\cdot c_0 \;\Longrightarrow\; c_0 = 0$$ $$a_1 = 1: \qquad 1 = 0 + 1\cdot c_1 \;\Longrightarrow\; c_1 = 1$$ $$a_2 = 0: \qquad 0 = \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 0 + 0\cdot c_1 + 1\cdot c_2 \;\Longrightarrow\; c_2 = 0$$E o de ordem 3, que é o que dá trabalho:
$$-\frac{1}{3!} = b_3c_0 + b_2c_1 + b_1c_2 + b_0c_3$$ $$-\frac{1}{6} = 0 - \frac{1}{2}\cdot 1 + 0 + 1\cdot c_3$$ $$c_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3-1}{6} = \frac{1}{3}$$Juntando:
$$\boxed{\;\operatorname{tg}(x) = 0 + x + \frac{x^{3}}{3} + \dots\;}$$Do binômio de Newton ao expoente real
Última família de séries da aula, e ela começa em algo do ensino médio.
e, para expoente natural qualquer,
$$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$$Soma finita, com \(n+1\) parcelas.
E se o expoente não for natural? O que é \((a+b)^{p}\) com
$$f(x) = (1+x)^{p}, \qquad p \in \mathbb{R}$$A soma finita deixa de fazer sentido — não há como parar em \(k=p\) se \(p\) é \(1/2\) ou \(-1\). A saída é aceitar que ela vire infinita, e é aí que a série de Taylor entra.
Antes disso, o passo algébrico que transforma qualquer binômio no formato \((1+x)^{p}\): pôr o primeiro termo em evidência.
Obs. O 4 sai da potência como \(4^{1/2} = 2\), e o que resta dentro já está na forma \((1+y)^{p}\) com \(y = -x/4\) e \(p = 1/2\).
A série binomial
\((1+x)^{p}\) é o roteiro do tópico 02 aplicado mais uma vez, com centro em \(x_0=0\).
Obs. Cada derivada baixa o expoente em 1 e deixa cair um fator na frente. Em \(x=0\) a potência de \((1+x)\) vale 1 sempre, e sobra só o produto dos fatores.
O padrão de \(f^{(n)}(0)\) é o produto de \(n\) fatores descendo de \(p\). Dividindo por \(n!\):
$$\boxed{\;(1+x)^{p} = 1 + px + \sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{p(p-1)\cdots\big(p-(n-1)\big)}{n!}\right)x^{n}\;}$$Aquele bloco recebe o mesmo símbolo do binômio de Newton:
$$\frac{p(p-1)\cdots\big(p-(n-1)\big)}{n!} =: \binom{p}{n} = \frac{p!}{(p-n)!\,n!}$$A escrita da esquerda é a que funciona sempre — a da direita só faz sentido com \(p\) natural, porque fatorial de \(-1/2\) não existe.
São \(n=2\) fatores descendo a partir de \(p=-1\), sobre \(2!\):
$$\binom{-1}{2} = \frac{(-1)(-1-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$As funções \(1/\sqrt{1+x}\) e \(1/(1-x)\)
Duas leituras da mesma fórmula, com expoentes negativos.
Raiz no denominador é potência negativa fracionária:
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-1/2}$$Aplicando a série binomial com \(p=-1/2\), o termo em \(x\) sai direto de \(px\):
$$= 1 - \frac{x}{2} + \sum_{n=2}^{+\infty}\binom{-1/2}{n}x^{n}$$Primeiro põe-se no molde \((1+y)^{p}\), com \(y = -x\):
$$\frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1} = \big(1+(-x)\big)^{-1}$$Agora a série binomial, termo a termo:
$$= 1 + (-1)(-x) + \binom{-1}{2}x^{2} + \dots$$Obs. No segundo termo, \(p=-1\) multiplica \(y=-x\) e os dois sinais se cancelam, dando \(+x\). No terceiro, \(\binom{-1}{2}=1\) e \((-x)^{2}=x^{2}\).
$$= 1 + x + x^{2} + \dots$$Checklist da A6
Se você consegue responder tudo abaixo sem consultar, a aula está fechada.
| Pergunta | Onde está |
|---|---|
| Escrever \(a_n = f^{(n)}(x_0)/n!\) e montar a série de Taylor de uma função dada | Os coeficientes de Taylor |
| Dizer a diferença entre série de Taylor e série de Maclaurin | Os coeficientes de Taylor |
| Obter \(e^{x}=\sum x^{n}/n!\) derivando e avaliando em \(x_0=0\) | A série de \(e^{x}\) |
| Separar \(f = T_n + R_n\) e escrever \(T_0\), \(T_1\) e \(T_2\) | Polinômio de Taylor e resto |
| Aplicar \(|R_n(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\) e achar o \(M=e^{d}\) da exponencial | A cota do resto |
| Rodar o teste da razão em \(\sum x^{n}/n!\) e concluir que a igualdade vale em todo \(\mathbb{R}\) | Por que a série de \(e^{x}\) vale em todo \(\mathbb{R}\) |
| Calcular \(\int_0^1 e^{x^{2}}dx\) integrando a série termo a termo | A integral que não tem primitiva |
| Escrever \(e^{-x^{2}}=\sum(-1)^{n}x^{2n}/n!\) por substituição | A integral que não tem primitiva |
| Obter o valor de \(e\) pondo \(x=1\), e expandir \(e^{\operatorname{sen}(x)}\) | Substituir dentro de \(e^{x}\) |
| Listar \(f^{(n)}(0) = 0,1,0,-1,\dots\) do seno e chegar a \(\sum(-1)^{n}x^{2n+1}/(2n+1)!\) | A série do seno |
| Resolver \(\lim_{x\to0}\operatorname{sen}(x)/x\) dividindo a série por \(x\) | O limite \(\operatorname{sen}(x)/x\) |
| Derivar a série do seno termo a termo e cancelar \((2n+1)\) com \((2n+1)!\) | A série do cosseno |
| Escrever \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_k\) e justificar por que não é \(a_nb_n\) | Produto de duas séries |
| Calcular \(c_0\), \(c_1\) e \(c_2\) de \(\operatorname{sen}(x)\cos(x)\) com os zeros escritos | Exemplo: \(\operatorname{sen}(x)\cos(x)\) |
| Virar a divisão em produto, montar \(a_n=\sum b_{n-k}c_k\) e obter \(c_3=1/3\) | Quociente: a série de \(\operatorname{tg}(x)\) |
| Pôr o 4 em evidência para levar \((4-x)^{1/2}\) à forma \(2(1+y)^{1/2}\) | Do binômio de Newton ao expoente real |
| Escrever \(\binom{p}{n}\) com \(n\) fatores descendo de \(p\) e calcular \(\binom{-1}{2}=1\) | A série binomial |
| Expandir \(1/\sqrt{1+x}\) e recuperar a geométrica com \(p=-1\) | As funções \(1/\sqrt{1+x}\) e \(1/(1-x)\) |